İnsanın evreni anlama çabası: İki noktadan bir doğru geçebilir

Öklid adını eminim duydunuz. Büyük İskender’in generali olarak 300 yıla yakın süre Mısır’da hüküm süren Ptolemaios hanedanı döneminde İskenderiye’de yaşamış büyük geometrici, hatta geometrinin kurucusu Öklid.
Onun geometrisi matematik ve mantıkta ‘aksiyomatik’ veya ‘formel’ diye anılan bir sistemdir.
Önce izin verin bu ‘aksiyomatik sistem’i biraz da Öklid’i takip ederek anlatmaya çalışayım:
Öklid önce bazı terimleri tanımlar. Hepimizin ortaokul matematiğinden hatırladığımız ‘nokta’yı tanımlar örneğin. Ardından ‘doğru’yu tanımlar ve böyle devam eder.
Öklid’in meşhur ‘Elements’ kitabının birinci bölümü bu tanımlarla başlar.
Tanımlar yapıldıktan sonra, o tanımlanmış sistemin içinde ‘aksiyom’lar belirir. Mesela meşhur ‘İki noktadan bir doğru geçirilebilir’ diyen 1. aksiyom veya postula.
Öklid kitabının birinci bölümünde 23 tane tanımlama yapar ve bunlardan hareketle de beş aksiyom veya postula belirler. İşte geometri, daha doğrusu Öklid geometrisi bu beş aksiyom üzerine kuruludur.
Öklid’in geometrisini milattan önce 300 yılı dolaylarında kurduğu tahmin ediliyor. Ve bu geometrik sistem, 19. yüzyılın sonu, 20. yüzyılın başlarına kadar rakipsiz, tek sistem olarak kaldı.
Kaldı ama Öklid’in beşinci aksiyomu hep tartışmalıydı, kafaları karıştırıyordu.
Bu aksiyom, bir paralelin sonsuza kadar uzatılabileceğini söylüyordu.
İki boyutlu bir dünyada yaşıyor olsak belki bu doğruydu ama hepimiz iki boyutlu bir dünyada yaşamadığımızı biliyoruz. Örneğin bir kürenin üzerine çizeceğiniz paralel hep paralel olarak kalabilir mi? Bir yerden itibaren çizgiler birbirinden uzaklaşmaya başlamaz mı? Veya paralelin çizgilerinin birbirine yakınlaştığı bir boyutu hayal edemez miyiz?
Edebilirdik elbette. Ama işin ilginç tarafı, insanoğlu neredeyse 2200 yıl boyunca bugün bize son derece basit gelen bu hayali kurmadı, Öklid’in son aksiyomundan tamamen tatmin olmasa da, bunun yerine başka bir geometri koymayı düşünmedi.
Neden sonra, Öklid dışı geometriler düşünüldü, yazıldı, çizildi.
Size şaşırtıcı gelebilir ama Öklid dışı geometrilerin düşünülmesi, çok ama çok büyük bilimsel devrimlerin en önemli unsurlarından biri olarak tarihe geçti.
Evet, şu basit fikri sıçrama, bir paralelin çizgilerinin sonsuza kadar paralel kalmayabileceğine, çizgilerin birbirine yaklaşabileceğine veya uzaklaşabileceğine dair önerme, bize bugün yaşadığımız dünyayı hediye eden önemli devrimlerden biri oldu.
Çünkü bu fikri sıçramanın felsefede ve bilimde çok önemli sonuçları oldu.

Matematiği formelleştirme çalışmaları

ÖKLİD tek başına oturmuş, önce bazı terimleri tanımlamış, sonra o tanımlardan aksiyomlar üretmiş ve bu aksiyomlara dayanarak da ‘önermeler’ ortaya koymuştu. Yani koca bir sistem yaratmıştı. Buna ‘formel’ sistem de diyebiliriz. Hayatla ve gerçeklikle illa bir bağının olması gerekmez. Formel sistem kendi içinde tutarlı olduğu sürece bir ‘sistem’dir.
Geometride Öklid’in başardığı şey acaba matematikte yapılamaz mıydı? Yani matematik, tanımlar, aksiyomlar ve önermelerle tutarlı bir formel sisteme indirgenemez miydi?
Bu kolay akla gelen soruyu en ısrarla soranlardan biri Alman matematikçi David Hilbert oldu. Hilbert sormakla da yetinmedi, kendisi böyle bir sistem kurmak için çaba sarf etti.
Hilbert’ten hiç de kalır tarafı olmayan bir çabayı sarf eden başka bir isim ünlü Bertrand Russel’dı. Russel, mantıkla matematiği birleştirmek, matematiğin formel bir sistem olduğunu kanıtlamak için koca koca ‘Principia Mathematica’yı yazdı, Alfred Whitehead’le birlikte. 1910, 1911 ve 1912’de birer cildi çıkan üç ciltlik bu dev eser çok iddialıydı. Sonra 1927’de yazarlar önemli değişiklikler yaptıkları bir düzeltilmiş versiyonunu da yayınladılar kitapların.
Ama bundan birkaç yıl sonra, biraz tuhaf görünüşlü Avusturyalı bir mantıkçı/matematikçi Kurt Gödel onlarca matematik dehasının hayatlarının onlarca yılını verdikleri matematiği formelleştirme çabasını yıktı geçti.
Gödel’in 1931’deki doktora tezinin başlığı, “Principia Mathematica Gibi Dizgelerin Biçimsel Olarak Karar Verilemeyen Önermeleri Üzerine” idi.
Gödel’in kanıtlamasını anlaşılır bir dille özetlemek bu yazının sınırlarını çok çok aşan bir şey, o yüzden şunu söylemekle yetineyim: Gödel, bütün formel sistemlerin doğruluğu veya yanlışlığı kanıtlanamaz, dolayısıyla karar verilemez (yani bir anlamda tutarsız) önermeler içermek zorunda olduğunu söyler.
Bu anlamda sayılar kuramı veya Öklid’in paralel aksiyomu doğruluğu veya yanlışlığı kanıtlamaz önermelerdir.
Matematiği (ve geometriyi) formelleştirme, kendi içinde tutarlı kılma çalışmaları böylece çöker!

Bir fikri sıçrama bir dizi devrim

İNSANOĞLU 19. yüzyıl sonu 20. yüzyıl başında sadece matematiğin bir formel sisteme indirgene-bileceğine inanmıyordu.
Bir başka
kuvvetli inanç, evrenin deterministik olduğuna ilişkindi. Yani, evrenin şu anki durumunu eğer tam olarak saptayabilirsek, elimizdeki bilim sayesinde evrenin gelecekteki
halini de biliriz.
Bugün Türkiye’de merkez sağdan gelenlerin şiddetle eleştirdiği pozitivizm aslında o devrin bir düşünme biçimiydi. Bilim, her şeyi açıklamayı bitirmek üzereydi neredeyse, inanca göre.
Ama nasıl insanoğlu
Öklid dışı geometrilerin varolabileceğini düşünüp bu sayede uzayın geometrisini
daha iyi kavramaya başladıysa, formel sistemlerin mantıken mümkün olamayacağını kanıtladıysa, aynı şekilde deterministik yani önceden belirlenebilir bir evrende yaşamadığımızı da kanıtladı.
Türkiye’de merkez sağ ve dindarlar, dünyada da bir kısım post-modernist düşünür, bu durumu bilimin açıklayıcılığının sona ermesi olarak görmek ve göstermek istiyorlar ama aslında sona eren pozitivizmdi, bilim değil.