Manavlar meyveleri Kepler Formülü’ne göre diziyor

Mevcut alanı en ekonomik biçimde kullanarak küreleri nasıl üst üste dizeriz? Cevabı manav tezgáhlarında apaçık duruyor. Piramit biçiminde üst üste istiflersin olur biter. Ancak matematikçiler bunu ille de bilimsel olarak kanıtlamak istiyor. Thomas Hales adlı ABD'li matematikçi kanıtlıyor da. Ancak bunu bilgisayar işlemleriyle yapması sorun yaratıyor. Hales, bilgisayarda 3 gigabaytlık hacim kaplayan, 10 yıllık çalışmasının ürününü beş yıl önce açıkladığı halde hiçbir bilim dergisi makalesini basmıyor. Çünkü hakemler tam beş yıldır uğraştıkları halde bilgisayardan çıkan sonucu doğrulayamıyorlar.

Manav alemi küre biçimli sebze ve meyveyi tezgaha dizme sorununu çoktan aştı ama, matematik dünyası Kepler'den beri aynı problemi tartışıyor. Küreler nasıl dizilmelidir ki, ekonomik alan kullanımı maksimum düzeyde olsun.

Aslında Alman astronom Johannes Kepler bu sorunun yanıtını 392 yıl önce vermiş; Piramit şeklinde dizilmelidir demiş. Nitekim manavlar ve pazarcılar da domatesten portakala bütün sebze ve meyveleri piramit biçiminde tezgaha yerleştiriyor. (Elalemin marketinde de piramit şeklinde diziliyor ama, bizim marketlerde bırak dağınık dursun zihniyeti bulunduğundan, herhangi bir dizayn söz konusu değil.)

Durum böyleyken matematik alemi rahat durmuyor. Kepler sorunu aklıyla çözümlediği halde, piramit yöntemini kanıtlayarak bilimsel bir kural haline getirmeye çalışıyorlar.

PİRAMİTSEL ARANJMAN

Thomas Hales adlı Amerikalı matematikçi, yaklaşık beş yıl önce, tamı tamına 8 Ağustos 1998 günü, çok sayıda meslektaşına birer e-mail göndererek, yaklaşık 400 yıldan beri kanıtlanmamış bir şekilde ortada kalan piramit varsayımını bilgisayarda kanıtladığını duyuruyor. Doktora öğrencisi Sam Ferguson ile birlikte çalışmasını tamamlayan Hales, gerçekten de portakalların en kesif yerleşim biçiminin piramit formülü olduğunu söylüyor. Piramitsel portakal aranjmanı mevcut alan içinde yüzde 74.04'lük bir hacim kaplıyor. Geriye kalan yüzde 25.96'lık alan da boşluklardan oluşuyor.

O dönemde gazeteler bu müthiş buluş haberini birinci sayfalarından veriyorlar. Muhtemelen evrenin bütün manavları haberi şaşkınlıkla karşılıyor. Ancak haberi okuyup da hayrete düşenler varsa haksızlık ediyorlar. Çünkü Hales'e göre manavlar, portakalları, ekonomik alan kullanımı adına değil, meyveler yuvarlanıp yere düşmesinler diye piramit şeklinde diziyorlar. Yani akıl yoluyla hareket ettiklerinden değil, yerçekimine karşı koyamadıkları için Kepler formülünü uyguluyorlar.

Bu arada tek bir bilim dergisi bile, Michigan Üniversitesi profesörü Hales'in makalesini yayımlamıyor.

Ancak Hales'in kanıtladığı Kepler varsayımı şimdilerde yeniden güncelleşiyor. Çünkü matematik dünyasının saygın yayın organı Annals of Mathematics, Hales'in kanıt niteliğindeki eserini basmakta tereddüt gösterdiğini ilan ediyor. Hales'in 250 sayfalık çalışmasının yayınından sorumlu ekip, son derece karmaşık olması nedeniyle kontrol sürecini tamamlayamadığını bildiriyor. Kanıtı doğrulamak için uğraşırken bitap düştüklerini, çalışmanın hatalı olduğu gibi bir iddiada bulunmamakla birlikte, yöntemin kusursuz olduğunu söyleyebilecek durumda da olmadıklarını belirtiyorlar.

BEŞ YILDA ÇÖZEMEDİLER

Dergi editörlerinin son beş yılı Hales yüzünden hayli sancılı geçirdikleri anlaşılıyor. Bir kere bilim gereği her şeye kuşkuyla yaklaşıyorlar. Bu bilimsel refleksin yanı sıra, California Üniversitesi'nden Wu-Yi Hsiang adlı bilim adamının yayınladığı bir makalenin yanlış olması da kuşku dozunu artırıyor. Bu nedenle Hales'in 250 sayfalık çalışmasını 12 ayrı bilirkişiye gönderiyorlar. Bu bilirkişilerden biri de efsanevi Macar matematikçi Gabor Fejes Toth'un oğlu Laszlo Fejes Toth. Baba Toth 1965 yılında, Kepler'in ortaya attığı varsayımın günün birinde bilgisayar ortamında kanıtlanabileceğini ileri sürmüş bir şahsiyet.

Böylece oğul Toth'un sözcülüğünü üstlendiği bilirkişi heyeti, Hales'in kanıt niteliğindeki eseri üzerinde çalışmaya başlıyor. Yıllarca uğraşıyor, defalarca seminerler düzenliyorlar. Sonunda Laszlo Fejes Toth, doğrulama sürecini artık yorgun düştükleri için tamamlayamadıklarını açıklıyor. Hales'in ileri sürdüğü kanıtın kendisini yüzde 99 ikna ettiğini, ancak yine de kuşku payı bulunduğunu söylüyor.

Her şeye rağmen Hales'in makalesini gelecek yıl yayımlamaya karar veriyorlar. Ancak bugüne kadar pek görülmemiş bir dipnot düşerek: Bu çalışma bütün uğraşlara rağmen doğrulanamamıştır.

Problem sonsuza kadar çözümsüz de kalsa Hales'in makalesi önümüzdeki yıl yayımlanacak. Ancak manavların tüm sorunları çözümlenmiş olmayacak. Kepler'in varsayımını kanıtladıktan sonra yakınlardaki bir marketten Hales'e telefon gelmiş. Market sahibi şöyle demiş:

‘‘Lütfen bize bir uğrar mısınız? Portakalları dizmeyi beceriyoruz da, ayıklanmamış enginarlarla muhtelif problemlerimiz var.’’

Matematikçi bilgisayarı sevmiyor káğıt ve kalemi tercih ediyor

Kepler teorisinin kanıtlanmasıyla ilgili bu tuhaf hikaye büyük ölçüde, matematikte bilgisayar kullanımının yarattığı ihtilaftan kaynaklanıyor. Bazı matematikçiler, bir teoremi bilgisayar desteğiyle kanıtlamaya çalışırken, problemin binlerce muhtemel sonucunu hesaplayıp nihai çözüme ulaşıyorlar. Nitekim Thomas Hales de 5 bin ayrı denklemden yola çıkarak çözüme ulaşmış bulunuyor.

Ancak matematikçilerin büyük çoğunluğu bu yöntemden hazzetmiyor, şık bulmadıklarını söylüyorlar. Ayrıca işlemde kullanılan yazılım programının kusursuz olduğunun da garantisi yok.

İşin aslı şu ki, matematikçiler halen kağıt-kalemle çalışmayı tercih ediyorlar. Ancak matematik dünyasında sadece bilgisayar yardımıyla çözülebilecek problemler de var. Örneğin 125 yıl boyunca tartışıldıktan sonra, 1977'de bilgisayar sayesinde çözümlenen ünlü dört renk teoremi. Problem şöyleydi: Bir haritada komşu ülkelerin farklı renkte görünmesi için kaç renk kullanmak gerekir? Illinois Üniversitesi'nden Wolfgang Haken ve Kenneth Appel bu iş için sadece dört renk gerektiğini kanıtlamayı başardılar. Bu amaçla 1476 denklem yaratıp işi bilgisayara bıraktılar. Sonunda bitişik her iki ülkenin ayrı renkte görünmesi için toplam dört renk gerektiği kesinleşti. 90'lı yılların ortalarında dört Amerikalı matematikçi bu çalışmanın doğruluğunu test etmek için işe girişti. Ancak sonunda teoremi yeniden kanıtlamanın daha kolay olacağını fark ettiler ve bilgisayara sarılıp, dört rengi bulmayı yeniden başardılar. Böylece bir şeyi daha keşfettiler: Farklı bilgisayar programlarıyla aynı sonuca ulaşılıyorsa, demek ki problemin çözümünde hata payı, insan eliyle yapılabilecek bir hataya göre çok daha düşüktür.