2012 yılında Sancaktepe Futbol Kulübü'ne giden Berkay Yuvakuran, 2013 yılına kadar da burada oynadıktan sonra Beylerbeyi, Çekmeköy Belediyesi Alemdağ Spor, Karabekirspor formalarını giydi. Yuvakuran, son olarak 2018 yılında Dudullu'ya transfer oldu. Boyu 1.90 m, kilosu ise 89 kg olan Berkay düzgün fiziği ile dikkat çekiyor.
Türk futbolunun en önemli isimlerinden biri olan Semih Yuvakuran’ın oğlu olan Berkay Yuvakuran, Beşiktaş’ta kalecilik yapan Utku Yuvakuran'ın kardeşidir.