Vektörlerin scaler çarpımı nasıl yapılır? Örnekleri ile konu anlatımı

 Vektörlerin scaler çarpımı konusunda kafa karışıklığı yaşayan ve daha iyi bir şekilde bu konuyu anlayabilmek adına pek çok kişi internetten yararlanmaktadır. Bu sebepten dolayı konuyla ilgili olan bilgilerin anlaşılır ve doğru olması yönünde gösterilen çabalar son derece değerlidir. 

 Vektörlerin Scaler Çarpımı Nasıl Yapılır? 

 Kuvvet ve yerdeğiştirme vektörlerinin eşitlik 1 şeklinde olan yazılış biçimi, vektörlerin skaler çarpımı olarak isimlendirilen uygun bir matematik araç kullanmanın yararlı olacağını belirtir. Bu araç, F ve d'nin ne düzeyde birbirine paralel oluşuna bağlı olacak ve nasıl etkileştiğini ortaya koyacaktır. Bu skaler çarpım F.d olarak yazılır. (Kullanımı söz konusu olan nokta simgesi nedeniyle, skaler çarpıma çoğunlukla nokta çarpım da de­nilmektedir.) Bu durum neticesinde, 1 Eşitliğini bir skaler çarpım olarak ifade etmek doğru olacaktır: 

 W = FdcosΘ ( Eşitlik 1) şeklindedir. 

 Genel olarak A ve B gibi herhangi vektörlerin mevcut durumdaki skaler çarpımı, iki vektörün büyüklükleriyle ve bunların arasında bulunan açının kosinüsünün çarpımına eşit olan skaler bir nicelik olmaktadır: 

 A.B = ABcosΘ (Eşitlik 3) Şeklindedir. 

 Bir A, B, açısında BcosΘ, B’nin A üzerindeki izdüşümüdür. Bu durumda 3. Eşitliğe göre A.B, A ‘nın büyüklüğü ile, B nin A üzerindeki izdüşümünün çarpı­mını ifade etmektedir. 3 Eşitliğinin sağ tarafından, aynı zamanda skaler çarpımın yerdeğiştirebilir (komutatif) olduğu da görülebilir. Yani, 

 A.B = B.A şeklindedir. 

 Son olarak vektörlerin skaler çarpımı, 

 A.(B + C) = A.B + A.C olacak biçimde çarpmanın dağılma yasasına da uymaktadır. A, B’ye dik ya da paralel olduğu durumda, 3 Eşitliğinden nokta çarpımı hesap­lamak oldukça kolaydır. A, B’ye dikse (Θ = 90°), A.B = 0 olur. (A.B = 0 eşitliği aynı za­manda A, veya B nin sıfır olması halinde de sağlanacağı açıktır.) A vek­törü, B vektörüne paralel ve aynı yönlü durumda ise A.B = AB dir. 

 A vektörü B vektö­rüne paralel ancak ters yönlü ise (Θ = 180°), A.B = – ABdir. 90° 

 i, j, k birim vektörleri, bir sağ koordinat sistemi­nin sırası ile pozitif x,y ve z eksenlerinde yer almaktadır. Bunun sonucu olarak A.B nin tanımın­dan bu birim vektörlerin skaler çarpımları: 

 i.i = j.j = k.k = 1 (Eşitlik 4)

 i.j = i.k = j.k = 0 (Eşitlik 5) olur. 

 A ve B vektörlerinin, bileşenleri cinsinden ise

 A = Axj + Ayj + Azk

 B = Bxi + Byj + Bzk şeklinde de ifade edilebileceğini söyler. 4 ve 5 Eşitliklerinin olması durumunda verilen bil­gi , A ile B 'nin skaler çarpımının 

 A.B = AxBx + AyBy + AzBz ya indirgenebileceğini ifade eder. A = B olan özel bir durumda ise 

 A.A = Ax2 + Ay2 + Az2 = A2 olacağı görülür. 

 Örnekleri İle Konu Anlatımı 

 Konun çok daha iyi bir şekilde anlaşılır olması bakımından verilebilecek örnekler yol gösterici olacaktır. Bu kapsamda şu şekilde örnek verilebilir: A ve B vektörleri, A = 2i + 3j ve B = – i + 2j olarak verilmektedir. Buna göre (a) A.B skaler çarpımını hesaplayınız ve de (b) A ile B arasındaki Θ açısını bulunuz.

 Problemin Çözümü: 

 (a) A.B = (2i + 3j).(-i + 2j)

 =- 2i.i + 2i.2j – 3j.i + 3j.2j

 = -2(1) + 4(0) – 3(0) + 6(1)

 = – 2 + 6 = 4 

 Burada i.i = j.j = 1 ve i.j = j.i = 0 olduğu gerçeğinden yararlanılmıştır. 7.9 Eşitliği kullanıldığı takdirde aynı sonuç elde edilir. Burada Ax = 2, Ay = 3, Bx = – 1 ve By = 2 olur.