Topoloji nedir ve neyi inceler? Topoloji bilimi hakkında kısaca bilgiler

Matematik ve hayat arasında ilişkilendirme yapabilmeye yardımcı olan cebirsel ve görsel temsillerin

 Topoloji Nedir?

 Matematiğin ana dallarından biri topolojidir. Yunanca olarak uzay, yüzey ya da yer anlamına gelen "topos" kelimesi ile bilim anlamında kullanılan logos kelimelerinden türetilmiştir. Topoloji bilimi 19. Yüzyılın ortalarında kurulmuştur ve o zamanlar “topoloji” tanımı yerine “analysis situs” tanımı kullanılmaktaydı.

 İki uzayın birbirlerinden kopmadan sürekli olarak birbirlerine dönüşmelerini örnek alarak, içi boş olan bir üçgenin, bir çembere dönüşümü şeklinde örnek verilebilir. Aynı şekilde bir çay bardağının bir çay tabağına dönüşmesi de örnek verilebilir. Bu durumu geometrik bir biçimde görmek de oldukça kolaydır. Bir çay bardağını veya çay tabağını kauçuktan yapılmış olarak düşünülürse cismin bütünlüğünü koruyarak çekip uzatmak ya da bükmek eğmek gibi işlemlerle diğer cisme dönüşebileceği görülür.

 Topoloji Neyle İlgilenir?

 Topoloji yüzeylerin özelliklerini, genel şekillerini inceleyen geometri dalıdır. Topoloji açılar ve uzunlukla ilgilenmez. Bir nesnenin kopmadan veya yırtılmadan büküldüğünde, nesnenin şeklinin bozulması halinde nesnenin bütünlüğü bozulmayan tüm özellikleriyle ilgilenir.

 Topolojik açıdan kâse ve küre aynı kategoriye girmektedir. Bunun nedeni ise küre şeklinde bir kil topağı bir kâseye dönüşebilir. Fakat ortasında bir deliği olan simit ve sap kısmında bir delik bulunduran kahve fincanı farklı kategoriye girer. Bunlarda birbirlerine dönüşebilecek şekilde yeniden biçimlendirilebilir. Buna bağlı olarak topolojik olan nesneler bir veya daha fazla delik içerebilirler. Fakat bu sayılar bir tam sayı olmak zorundadır. Topoloji bu nesnelerdeki delik sayıları gibi basamaklar hallinde değişen özellikler ile ilgilenir. Öklid geometrisinin ana bileşenlerinden her biri ölçmeyle ilintidir.

 Topoloji Bilimi Hakkında Kısaca Bilgiler

 Öklid geometrisiyle topoloji biliminin ilintili durumu 19. Yüzyıl sonlarında değişmeye başlamıştır. Daha esnek olan bir geometri türü ortaya çıkarılmıştır. Sonuç olarak zaman içerisinde topoloji statüsü hızla yükselir ve matematik biliminin içerisine dâhil olur. Topoloji bilimi 19. Yüzyılda ortaya çıkmış olsa da aslına bakılırsa tarih sahnesinde bazı dönemlerde belirginleştiği zamanlar olmuştur. Hatta Antik Yunanlılara kadar geçmişi dayanmaktadır.

 Topoloji tanımı ortaya çıkmadan önce, topolojiyle ilgili olan temel iki öğeyi bir bilim adamı olan Euler öne sürmüştür. Bu iki temel öğelerden biri “Königsberg Köprüleri” iken diğeri de “Euler’in Çokyüzlüler Formülü” bulmacalarının çözümüdür. Gauss topoloji hakkında bir önseziye sahipti. Manyetizmanın üzerine yaptığı çalışmalar, günümüzde geçişme sayısı şeklinde adlandırılan bir topolojik değişmezi göstermiştir.

 Fakat topolojinin gelişiminde Gauss etkisiyle birlikte kendisinin öğrencisi Johann Listin ile asistanı olan Augustus Möbius’un da etkisi vardır. 1834 senesinde Listing ise Topoloji İçin Ön Çalışma isimli eserindeyse Yunanca ’da uzay ya da yüzey anlamında olan topos kelimesiyle bilim anlamındaki logos kelimesinden türeyen topoloji sözcüğünü ilk kez kullanmıştır.

 Normal şekilde bir yüzeyde iki taraf olur. Topun içi ve dışı iki farklı yüzeydir. Bir yüzeyden öbür yüzeye geçebilmenin yolu ise delik açmaktır. Fakat topoloji de böyle bir şeye izin verilmez. Tek tarafı olan bir yüzeyin nasıl olabileceği başlarda akıl alınmaz gibi görünse de Alman gök bilimci ve matematikçi August Möibus böyle bir şekil keşfetmiştir. Bu şeklin elde edilebilmesi için yapılması gereken kâğıt bir şeridin bir ucu, bir tur döndürülür ve diğer uçla birleştirilir. Oluşan bu şekle de Möbius şeridi denilir.