Sin2X açılımı nedir? Trigonometri sin2x açılımı konu anlatımı

 Trigonometri de sinüs, kosinüs gibi trigonometrik fonksiyonlar kullanılmaktadır. Günümüzde özellikle fizik ve mühendislik konularında sıkça kullanılmaktadır. 

 Sin2x Açılımı Nedir? 

 Trigonometri matematiğin alanında en önemli konuların başında gelmektedir. Bu nedenle trigonometri derslerinde öğrencilerin çok işine yarayacak bir açılım olan sin2x açılımı oldukça önemli olmaktadır. Ayrıca Sin2x açılımı olan yarım açı formülleri trigonometri alanında hayat kurtarıcı olabilmektedir. 

 Trigonometri de Sin2x Açılımı Konu Anlatımı 

 Sin2x = 2.sinx.cosx denklemine eşittir. Bu açılım da her bir açının yarısını alacak biçimde kullanıldığı anlatılmaktadır. En basit olarak Sin40 = 2.sin20.cos20 olarak karşımıza çıkar. Bu formül bazı sorularda bir açı verilip onun yarısının ya da iki katının sinüs değeri arandığı durumlarda rahatlıkla kullanılmaktadır. 

 Sin2x açılımının bilimsel olarak birden fazla ispatını yapmak mümkündür. Ancak önemli olan sin2x açılımını çok iyi anlamaktır. 

 Sin2x Açılımı 

 Trigonometri elbette matematiğin en önemli konularından biridir. Sin2x özellikle öğrencilerin işine çok yarayacak bir açılım olmaktadır. Sin2x=2.sinx.cosx şeklinde ifade edilir. Bu açılım ile mühendislik, fizik ve matematik alanında çalışan herkes içli dışlı olmaktadır. 

 Sin2x Açılımının İspatları nelerdir? 

 Sin2x açılımının birden çok ispatı bulunmaktadır. Fakat bu konuda önemli olan husus sin2x açılımını çok iyi öğrenmek ve kavramak olmaktadır. 

İspat. 

 İlk olarak basit yoldan anlatmak gerekirse, bildiğimiz değerlerden ispat yöntemi uygulanabilir. 30, 45, 60 gibi düz ölçülerin trigonometrik değerleri aşağıdaki gibidir. 

 Sin60 = √3/2 ile Sin30 = 1/2 ve Cos30 = √3/2 olmaktadır. 

 Açılımlara göre sin60 = 2.sin30.cos30 şeklinde ifade edilmelidir. O halde √3/2 = 2.(1/2).√3/2 açılımı olmalıdır. İşlemler yapıldığı zaman bunun ispat edildigini ve sağlandığını rahatlıkla görmekteyiz.

 ​​​​Aynı zamanda bu ispatı 90 ve 45 derece ölçüleri ile denemek konuyu yeterince anlayabilmek için sizlere fayda sağlayacaktır. 

İspat 

 ​​​​​Toplam ve fark formüllerini bilen herkes bu ispatı da kolaylıkla kullanılabilir. Bilindiği gibi sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb açılımı sinüsün toplama formülü olmaktadır. 

 Bu formül üzerinden gidildiği zaman a ve b'nin ikisi yerine de x yazılırsa sin(x + x) = sin2x = sinx.cosx + cosx.sinx = 2.sinx.cosx şeklinde bulunur. 

 Bu 2. ispat yöntemi takip edilerek aynı şekilde cos2x açılımını da kolaylıkla sizde elde edebilirsiniz. Trigonometri konularında bu şekilde ispat yapıldığı zaman hem formülü çok daha iyi kavramaya hem de formülün biri unutulduğu taktirde diğerini elde ederek bulmaya yardımcı olmaktadır.

 Geometri dalını kullanarak da sin2x açılım formülünün ispatını yapmak mümkün olmaktadır. Ancak yine de verdiğimiz bu 2 ispat yöntemi soruların çözümünde yeterli olacaktır.

 Trigonometri de Sin2x Açılımı İle ilgili Örnekler 

 Birkaç soru ile Sin2x açılımını tam kavramak ve öğrenmek daha mümkün hale gelir. Bu örnek sorular konuyu pekiştirme de yardımcı olabilir. 

 Soru1: Sin80/(sin40.cos40) ifadesinin trigonometri de eşiti nedir? 

 Çözüm: ilk olarak Sin80 ifadesini 40 derece olacak şekilde açalım. 2.sin40.cos40 elde ederiz. sin40.cos40/sin40.cos40 işlemde sadeleşeceği için cevabımız 2 olur. 

 Soru 2: sinx + cosx = 4/5 ise sin2x kaçtır? 

 Çözüm: ilk olarak sinx + cosx ifadesinin karesi alınır. (sinx + cosx)² = sinx² + cosx² + 2.sinx.cosx = (4/5)² sonucu ortaya çıkar. 

 Burada kural gereği sinx² + cosx² = 1 eşitliği vardır. olduğuna göre 1 + 2.sinx.cosx = 16/25 bulunur. 

 Burada 2.sinx.cosx = sin2x olduğundan 1 + sin2x = 16/25 elde edilir.

  Denklemi çözmek için 1'i karşıya atıyoruz: sin2x = 16/25 - 1 = 9/25 bulunur.