Riemann toplamı nedir ve neyi ifade eder? Riemann toplamı formülü konu anlatımı

 Gerçek değişkenler, gerçek sayılar ve gerçek değerli fonksiyonlarla ilgilenir. Dizilerin ve reel fonksiyonların analitik özelliklerini de incelediğini söyleyebiliriz. 

 Riemann İntegral Tanımı 

 f'nin [a, b] ile temsil edilen kapalı bir aralıkta tanımlanan bir fonksiyon olduğunu varsayalım. f'nin negatif olmayan ve sürekli bir fonksiyon olduğunu varsayalım. f'nin x'e göre integrali, f ve X ekseni grafiği arasındaki alanı belirtir. Bu alan, a'dan b'ye bir f fonksiyonunun belirli integrali olarak adlandırılır. 

 Bu alanı (veya belirli integrali) belirlemenin Riemann yöntemi şudur: “alan çok küçük genişlikte dikdörtgenlere bölünürse, o zaman bu tür dikdörtgenlerin alanını hesaplamak daha kolay olurdu ve sonra onları toplayabiliriz” 

 Dikdörtgenler çok dar ise, o zaman yaklaşım hatasının ihmal edilebilecek kadar küçük olacağı oldukça açıktır. Daha dar dikdörtgenler için, ölçülen yaklaşık alan, f fonksiyonunun eğrisi altındaki alan olarak adlandırılan bir sayıya yakınsar. Küçük dikdörtgenler çizmezsek, bu yöntem bozulmaya meyillidir. Riemann prosedürünü doğru yapmak için verilen [a, b] aralığını daha küçük parçalara bölerek dikdörtgenlerin genişliklerini belirleyebiliriz. 

 Riemann Toplamları 

 Riemann toplamını öğrenmeden önce birkaç başka kavramı bilmek gerekmektedir. Örneğin; kapalı bir [a, b] ∈ R aralığı olduğunu varsayalım. 

 Bu aralığın bölünmesinin aşağıdaki biçimde bir dizi olduğu söylenir: 

 a = x 0 < x 1 < x 2 < … < x n 

 Burada, her [x i ,x i+1 ] bir alt aralık olarak bilinir. 

 En büyük alt aralığın uzunluğuna norm veya ağ denir. [a, b] aralığı için, t 0 ,t 1 ,…,t n-1 sonlu sayıların bir dizisi ile birlikte bir P(x, t) bölümü, t i ∈ koşulunu sağlıyorsa etiketli bölüm olarak bilinir. 

 [a, b] aralığındaki reel değerli bir f fonksiyonunun Riemann toplamı, f'nin [a, b]'nin etiketli bölümüne göre toplamı olarak tanımlanır. 

 https://i.hizliresim.com/4iqlkr2.png 

 Riemann toplamındaki her terim, uzunluğu veya yüksekliği f(t i ) ve genişliği x i +1−x i olan bir dikdörtgenin alanını belirtir. Bu nedenle, Riemann toplamı tüm dikdörtgenlerin alanını ve dolayısıyla [a, b] aralığı veya belirli integral içindeki eğrinin altındaki alanı verir. 

 Riemann İntegral Formülü 

 Riemann toplamı aracılığıyla, genellikle integral olarak bilinen bir grafikte bir eğrinin altındaki tam toplam alanı buluruz. Riemann toplamı, sonsuz olan bir serinin limiti olarak integralin kesin bir tanımını verir. Bir grafikte doğruların veya fonksiyonların alanına yaklaşmak için Riemann Toplamı formülünün çok yaygın bir uygulamasıdır. Bu formül aynı zamanda eğriler ve diğer yaklaşımlar için de kullanılır. 

 Toplamı hesaplama fikri, bölgeyi, ölçmek için gereken bölgeye biraz benzeyen bölgeyi oluşturan dikdörtgen, kareler, paraboller, kübikler gibi bilinen şekillere bölmek ve ardından bölgeyi bulmak için tüm bölgeleri toplamaktır. 

 f [a, b] aralığında reel değerli bir fonksiyon olsun ve L bir reel sayı olsun. O halde f, [a, b] içinde integrallenebilir olarak adlandırılır, ancak ve ancak her ϵ > 0 için bir δ > 0 varsa, öyle ki her bölüm için ||P|| < δ, sahip olabiliriz; 

 |S(f,P)−L| < ϵ 

 L, f'nin [a, b] aralığı üzerindeki integrali olarak biliniyorsa, onu aşağıdaki gibi yazarız: 

 L = ∫ a b f(x) dx 

 Riemann İntegralinin Özellikleri 

 Temel olarak üç ana özellik vardır. Bunlar; 

Doğrusallık 

Monotonluk 

Toplanabilirlik’tir. 

  Riemann İntegraline Örnek Soru 

 4 Aralıklı riemann toplamını kullanarak f(x) = x 2 + 1, -3 $\leq$ x $\leq$ 1 eğrisinin altındaki alanı bulunuz. 

 a = -3,

 b = 1

 n =4

 f(x) = x 2 + 1

 $\delta$ x = $\frac{b – a}{n}$ = $\frac{1 + 3}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = 1

 Alan = $sol ( \sum_{i} f(x_{i})\delta{x})$ = $\delta{x}$(f(-2) + f(-1) + f(0) + f(1))

 (1) (5 + 2 + 1 + 2) = $\frac{10}{3}$ = 3.333