Ortalama değer teoremi nedir ve ispatı nasıldır? Örnekleri ile konu anlatımı

 Sürekli bir eğrinin üstünde seçilen herhangi bir bölme üzerinde, türevi bu bölmenin ortalama türevine eşit olan en az bir nokta vardır. Bunu belirten ortalama değer kuramı olmaktadır. 

 Ortalama Değer Teoremi Nedir? 

 Söz konusu teoremi basit biçimde ifade etmek için örneklere başvurmak mümkündür. Örneğin yolculuğa çıkan bir aracın hızı bazen düşmekte bazen yükselmektedir. Bu nedenle araç farklı hız limitlerine sahip olmaktadır. Yalnız bir saatlik yolculuğun sonunda araç 50 kilometre yol aldıysa, yolculuk esnasında en az bir kez saatte 50 kilometre hıza ulaşmış demektir. Bunu savunan görüş ortalama değer teoremidir. 

 İlgili kuram, fonksiyonların belirli aralıklar üstündeki hareketlerine yönelik genel çıkarımlarda bulunan kuramların ispat edilmesinde kullanılır. Bu teorem kalkülüste geçmektedir. Dolayısıyla kalkülüsün ne demek olduğunu anlamak mühimdir. 

 Kalkülüs Ne Demektir? 

 Sürekli biçimde değişen matematiksel çalışmalara kalkülüs denilmektedir. İlk başlarda sonsuz küçük hesap ya da sonsuz küçüklerin hesabı şeklinde ifade edilmekteydi. Ancak geometrinin zaman içinde şekillerle çalışmaya başlamıştır. Ayrıca cebir aritmetik işlemlerin genellemelerini incelemeye çalışmıştır. Bunlar durumu değiştirmiştir. 

 Kalkülüs iki ana daldan meydana gelir. Bu dallar diferansiyel hesap ve integral hesaptır. Diferansiyel anlık değişim oranları ve eğrilerin eğimleriyle ilgilenmektedir. İntegral hesabı miktarların ve eğrilerin altındaki yahut arasındaki alanların toplamıyla uğraşmaktadır. İlgili iki dal da kalkülüsün temel teoremi ile ilişkili olmaktadır. 

 Temelde kalkülüs Latince kökenli bir sözcüktür. Anlamı "küçük çakıl taşı" şeklinde karşımıza çıkar. Bu tarzda çakıl taşları Antik Roma'da kullanılmaktaydı. Ulaşım araçlarının kat ettiği mesafeyi ölçmek amacı taşırdı. Söz konusu sözcük zaman içerisinde farklı anlamlar kazanmaya başladı. Günümüzde genel olarak hesaplama yöntemi şeklinde ifade edilmektedir. 

 Kalkülüs özellikle mühendislik dalında kullanılmaktadır. Bütün modellemelerin fiziksel yönlerini ve temelini somut bir mekana çevirmek amacıyla kullanılır. Çatısı altında limit, türev, integral, diziler ve fonksiyon gibi konuları barındırmaktadır. Kalkülüsün temelinde trigonometri, cebir, analitik geometri yatmaktadır. 

 Kalkülüsün geçmişine göz atıldığı zaman farklı evrelere dayandığı görülmektedir. Bu evreler Antik Çağ, Orta Çağ ve Modern Çağ olmaktadır. Leibniz ve Newton'un modern kapsamda türev denklemini birbirlerinden bağımsız biçimde yazmış oldukları bilinir. Bu iki isim kalkülüs tarihinin önde gelen isimlerinden sayılmaktadırlar. 

 Ortalama değer teoreminde önem arz eden kavramlar arasında teğet ve eğri gelmektedir. Bunların taşıdığı anlamı aktarmak gerekmektedir. 

 Ortalama Değer Kuramında Teğet ve Eğri 

 Geometri ilminde sıklıkla karşımıza çıkan terimler bulunmaktadır. Bunlardan başı çekenin teğet olduğunu söylemek mümkündür. İki geometrik cismin birbirlerine yalnızca bir noktada temas etmeleri durumuna teğet denilir. Terimin kökeni Latinceden gelmekte ve dokunuş anlamını taşımaktadır. 

 Matematikte doğruya benzer nesneye eğri adı verilir. Fakat bunun doğrusal olması gerekmemektedir. Sezgisel bakımdan bir eğri, hareketli bir noktanın bıraktığı iz şeklinde düşünülebilmektedir. 

 Ortalama Değer Teoreminin İspatı Nasıldır? 

 Sözü edilen teorem tek başına anlam ifade etmemektedir. Bununla beraber teoremin anlattığı şey şu olmaktadır: Bir doğruya paralel, bir aralıkta tanımlanan minimum bir tane tanjant yani teğet doğrusunun olması gerekmektedir. 

 Bir fonksiyona ait 0 noktasındaki teğet doğrusunun eğimi, 0 noktasındaki türevi şeklinde tanımlanmaktadır. Buna göre (a,b) aralığında bulunan c noktası için eşitlik sağlanmaktadır. Teoremin ispatı bu biçimde ortaya konulmaktadır. Elbette bunu formülle ifade etmek mümkündür.