Menelaus teoremi nedir? Menelaus teoremi formülü ve ispatı ile konu anlatımı

Menelaus teoremi konu hakkında bilgi edinmek isteyen öğrencilerin oldukça büyük bir çoğunluğu bu yöndeki araştırmalarını internet üzerinden gerçekleştirmektedir. Bu sebepten dolayı konu hakkında verilebilecek olan her bilgi son derece büyük bir önemi kendi içerisinde barındırmaktadır. 

 Menelaus Teoremi Nedir? 

 Geometrideki teoremlerden biri olarak öne çıkmakta olan Menelaus teoremi formülünü ve konu anlatımıyla birlikte örnek çözümleri öğrencilerin konuyu anlaması ve bu sayede karşılarına çıkan sınavları kolaylıkla yanıtlayabilmelerine imkan sağlar. Menelaus teoremi, bir üçgenin kenarlarını kesen bir çizgi ile elde edilmekte olan oranları ilişkilendirir. Teoremin tersi de doğrudur ve üç noktanın aynı doğru üzerinde olduğunu kanıtlamak için oldukça güçlüdür. Bu teorem esasında Ceva teoremi ile de ilişkili durumdadır. Her iki teorem benzer yapılara sahiptir olup çeşitli geometri problem tiplerinde yaygın olarak uygulanabilmektedir. 

 Öncelikle Menelaus teoremi geometride üçgenlerle alakalı olan bir teorem olarak karşımıza çıkmaktadır. Konuyla alakalı olarak çok fazla sorusu sorulmasa da bazı geometri sorularında Menelaus teoreminin karşımıza çıkma durumu söz konusu olabiliyor. Bundan dolayı teoremin en azından aklınızda bulunması son derece yararlı olacaktır. İllaki bu teorem ile karşılaşma ihtimaliniz olacaktır. 

 Menelaus Teoremi Formülü ve İspatı İle Konu Anlatımı 

 Menelaus teoremi konusuyla alakalı olarak bilinmesi gereken en önemli konuların başında uygulanan formül gelmektedir. Bu kapsamda Menelaus teoremi formülünün öğrenilmesi ve iyi bilinmesi kişiye ilerleyen süreçte konuyla alakalı olarak önemli kolaylıklar sağlayacaktır. Şimdi bir ABCD üçgeni olduğu düşünülsün. Buna göre de kullanılacak olan formül şu şekilde olur: 

 I CE I I AF I . I BD I = 1 veya

 _____ . ____ . _____

 I EA I I FB I I DC I 

 I CE I I AB I I FD I = 1 şeklindedir. Buna göre her iki formül de Manelaus formülüdür.

 _____ . ____ . _____

 I CA I I BF I I DE I 

 Üstte verilmiş olan üçgene göre I CE I I AF I . I BD I = 1 veya

 _____ . ____ . _____

 I EA I I FB I I DC I 

 I CE I I AB I I FD I = 1 şeklinde bir formül kullanılmaktadır. Her ikisi de sonucu sağlamaktadır.

 _____ . ____ . _____ Bunların ispatı da vardır. Bu konuyla ilgili olarak kısaca ispatı benzer üçgenlerden gelir. Ancak biraz uzun olmaktadır.

 I CA I I BF I I DE I 

 Menelaus teoremi örnek soru çözümü: 

 Soru : 24537x üçgenenine göre x kaç cm’dir? 

 Çözümü: Burada görüldüğü üzere menelaus töremi uygulanır. Dolayısıyla üstte paylaşılmış durumda olan formülden 2 7 + x 3 = 1

 ___ . ____ . ___

 4 x 5

 42 + 6x= 20 x

 x = 3 

 Yukarıda verilmiş olan formülün akılda kalıcı olması adına üçgen çiziminde bir bağlaç noktası belirlemek ve sonrasında ok işareti ise çizgilerden yararlanmak faydalı olacaktır. Sonrasında da değerleri yerine koyarak cevaba ulaşmak mümkün hale gelir. 

 Menelaus teoreminin esasında son derece basit bir ispatı vardır. Bu ispat bildiğimiz benzerlik kurallarının uygulanması şeklindedir. İspatın uygulanması için ilk olarak A, B ve C noktalarından doğruya birer dikme indirmek gerekmektedir. Bu durum neticesinde pek çok benzer üçgen elde edilecektir. 

 Bir üçgen şeklindeki A, B, C köşelerinden doğruya indirilen dikmelerin doğruya değmiş olduğu noktalara sırasıyla A', B', ve C' denilmektedir. Bu durum neticesinde üç adet benzer üçgen elde edilebilmektedir.

  AA'D ~ BB'D

 AA'F ~ CC'F

 BB'E ~ CC'E şeklinde 

 Bu benzer nitelikteki üçgenlerin kenarlarının oranı eşittir. 

 |AD| / |DB| = |AA'| / |BB'|

 |CF| / |FA| = |CC'| / |AA'|

 |BE| / |EC| = |BB'| / |CC'| şeklinde olacaktır. 

 Bu eşitliklerde ki benzerlik en temel kurallarından bilinmektedir zaten. Menelaus teoreminin ispatı için üçgenin solundaki oranları ve sağdaki oranları aralarında çarpma işlemi yapılır. Bu durum sonucunda sağda bulunanların çapraz bir şekilde birbirini götürdüğü ve sonucun 1 olduğu görülür. Bu durumda solda verilen oranlar da 1'i verecektir. Böylelikle Menelaus teoreminin formülü de ortaya çıkar.