İki küp toplamı ve farkı formülü ve açılımı nasıl yapılır? 2 küp toplamı ve farkı bulma örnekleri ile konu anlatımı
Güncelleme Tarihi:
Matematik içinde çarpanlara ayırma dendiğinde sıklıkla akla gelen iki küp toplamı ve farkı olmaktadır. Bunun birçok nedeni bulunmaktadır. Özellikle farklı sınavlarda ilgili birçok soru ile karşı karşıya kalınmaktadır. Bizzat sorunun kendisi iki küt toplamı ve farkı ile ilgili olabildiği gibi, herhangi bir soru içinde de kullanılabilmektedir. Bundan dolayı iyice öğrenilmek istenilen formüllerin başında gelmektedir. İşte, iki küp toplamı ve farkı formülü hakkında tüm detayları derledik.
İki küp toplamı ile farkının formüllerini bilmek birçok sorunun yapılmasında yardımcı olmaktadır. Ancak bu formüllerin öğrenilmesi için pratik yapmak ve bolca soru çözmek gerekmektedir. Bunun yanında formüllerin kavranması için biraz zamana da ihtiyaç vardır. Bu şekilde formülleri daha pekişmiş olarak kullanmak mümkün olacaktır. Ayrıca pratik yaptıkça formülleri karıştırma olasılığı da ortadan kalkmaktadır.
Küp Açılımı Nasıl Olmaktadır?
Küp açılımı yapılmak istendiğinde ilk bilinen çarpanlara ayırma olmaktadır. (x³ + y³) biçiminde olan ifadelerin açılımına küp açılımı denmektedir. Farklı sınavlarda en çok çıkan soru şekillerinde, iki ifadenin toplamı ile farkının küpü veya iki ifade küpünün toplamı ile farkı görülmektedir. Bu açılımların bir formülü bulunmaktadır. Bu formüller bir kez öğrenildiği takdirde çarpanlara ayırma konusu oldukça zevkli hale gelmektedir.
İki küp toplamı şu şekildedir: x³ + y³ = (x + y).(x² - xy + y²)
İki küp fark şu şekildedir: x³ - y³ = (x - y).(x² + xy + y²)
İki ifadenin toplamının küpü şu şekildedir: (x + y)³ = x³ + 3x² y + 3xy² + y³
İki ifadenin farkının küpü ise şu şekildedir: (x - y)³ = x³ - 3x² y + 3xy² - y³
Bunlar bilindiği takdirde soruların yapılması daha kolay bir hale gelmektedir. Aksi durumda ise zaman kaybı ya da soruyu yapamama kaçınılmaz olmaktadır. Bu formüllerin yanında aşağıdaki formüllerin de bilinmesi ya da öğrenilmesi soruların çözümüne katkı sunmaktadır.
Tam kare toplamı: (a + b)2 = a2 + b2 + 2.a.b
Tam kare farkı: (a – b)2 = a2 + b2 – 2.a.b
İki kare farkı: a2 – b2 = (a – b).(a + b)
İki kare toplamı: a2 + b2 = (a – b)2 + 2.a.b = (a + b)2 – 2.a.b
Böylelikle hangi sınav, test ya da soru olursa olsun iki küp toplamı ve farkı soruları rahatlıkla yapılabilmektedir. Gelen sorular içinde olduğu gibi formüllerden biri ya da birkaçı kullanılacağı gibi, sorudaki ifadede de formül için uygun denklem yaratılabilmektedir. Soruların geliş tarzı da hemen her zaman bu şekillerde olmaktadır.
Örnek Sorular
Soru1: x 3 - 8 ifadesinin çarpanlara ayrılmış hali nasıl bulunmaktadır?
Çözüm: öncelikle ifadenin iki tarafı a iki küp farkı şekline getirilmektedir. Buna göre 8 sayısı 2’nin küpü şeklinde yazılmaktadır. Buradan ifadenin x küp-2 küp olduğu ortaya çıkmaktadır. Sonrasında formülün uygulanması yapılmaktadır:
(x-2).(x² + 2x + 4) şeklinde bir açılım ortaya çıkacaktır.
Soru2: 8a3 - 64b3 ifadesinin eşiti nasıl bulunmaktadır?
Çözüm: öncelikle soruyu iki küp farkına çevirmek için 8a3 — 64b3 ifadesi (2a)3 — (4b)3 şeklinde yazılmaktadır. Bu durumda özdeşliği şu şekilde ortaya çıkmaktadır:
(2a)3 - (4b)3 = (2a - 4b). (4a2 + 8ab + 16b2)
Soru3: x2 + y2 + 4x – 6y + 12 ifadesinde en küçük değer ne olmaktadır?
Çözüm: öncelikle ifade tam kareye tamamlanmaktadır. Bu durumda şu ifade ortaya çıkmaktadır:
X2 + 4x + 4 + y2 – 6y + 9 – 1 = (x+2)2 + (y-3)2 – 1 buradan x değerine -2 ve y değerine 3 verildiğinde en küçük değerin -1 olduğu görülmektedir. Bundan dolayı cevap -1 olmaktadır.