Ara değer teoremi nedir ve kök bulma işlemi nasıl yapılır? Kalkülüs teoremi formülü, ispatı ve örnekleri ile konu anlatımı

Sürekli olan fonksiyonlarla ilgili aralıklarda bulunan fonksiyon herhangi bir değer alarak bir teorem oluşturur. 

 Ara Değer Teoremi Nedir? 

 Ara değer teoremi sürekli fonksiyonların bir özelliğidir. [a,b] aralığında olan sürekli fonksiyonda sürekli bir f fonksiyonu için f(a) ya da f(b) değerlerinden birini alacaktır. Farklı bir anlamda f(a) ve f(b) fonksiyonları arasındaki herhangi bir D değeri için, [a,b] f(c)=D olacak ve bu da c değeri olacaktır. Sürekli fonksiyonlarda çizilen bir grafik vardır ve bu teoremin anlaşılması için grafiklerin bilinmesi gerekir. Bu teorem ile birçok problemin çözülmesi mümkündür. 

 Kök Bulma İşlemi Nasıl Yapılır? 

 Kök bulma işlemi fonksiyonda bir değeri sıfır yapacak başka bir değeri bulmaya yarayan bir algoritmadır. En basit kök bulma algoritması ikiye bölme metodudur ve bu metot yalnızca sürekli fonksiyonlarda uygulanmaktadır. Bu şekilde bir metot kullanmak için iki tahmin yapmak gerekir. Bu tahminlerin öyle tahminler olması gerekir ki f(a) ve f(b) birbirinden zıt işaretlere sahip olmalıdır. Farklı kök bulma metotları da bulunmaktadır. Bunlar Newton metodu, yanlış pozisyon metodu ya da Brent metodu gibi kök bulma metotlarıdır. 

 Ara Değer Yöntemiyle Kök Bulma 

 x³+3=x² denkleminin ilk 4 ondalık hanesinin doğru olması koşuluyla çözümünün bulunması istendiğinde şu şekilde bir işlen yapılır:

 Çözüm: x³+3=x² denkleminin çözümü f(x)=x³-x²+3=0 denklemine eştir. F fonksiyonunun en az bir tane sıfırının olduğu anlaşıldığından yaklaşık olarak bu sıfır değerinin bulunması gerekir.

 x³+3=x² denkleminin grafiğinin bulunmasıyla f(-1.18)=0,035432, f(-1.17)=0,029487 olarak ara değer teoremine göre f(c)=0 olacak şekilde bir c£[-1,18-1,17] olur ve c hakkında daha fazla bilgi edinilmiş olur. Bu sayede x³=x+2 denkleminin ilk 6 ondalık hanesinin doğru olması koşuluyla yaklaşık olarak bir çözüm bulunmaktadır. Bu işlemlerin karışık olması kafa karışıklığı meydana getirse de örneklerle anlaşılır bir hale getirilmektedir. Ara değer yöntemiyle kök bulma işlemlerinde yaklaşık değerlere ulaşılmaktadır. 

 Kalkülüs Teoremi Nedir? 

 17.yy bilimin doğduğu bir yüzyıl olarak bilinir ve kalkülüs de bu yüzyılda ortaya çıkmıştır. Kalkülüsün ortaya çıkmasında İngiliz bilim adamı Isaac .Newton ve Alman bilim adamı Wilhelm Leibniz büyük rol oynanmıştır. Matematiksel analizin giriş bölümünde kalkülüs bulunmaktadır ve tüm fiziksel olayları matematiğe çevirmek için kalkülüs teoremi kullanılmaktadır. Kalkülüs teoreminin içinde limit, integral, fonksiyon gibi birçok konu bulunmaktadır ve bu konular günlük olayların da çözümüne katkı sağlamaktadır. Daha çok cebirsel geometride ve bilgisayar programlarının üretilmesinde kalkülüs kullanılmaktadır. Ekonomide de kullanılan kalkülüs maliyetlerin hesaplanmasına kolaylık sağlar ve maksimum karın belirlenmesine yardımcı olur. Denklemlere yaklaşık cevapların bulunmasına da yardımcı olan kalkülüs çoğu yerde kök bulma işlemlerinde de kullanılmaktadır. Kalkülüsün kapsadığı konular arasında integral, cebir, trigonometri, limit ve süreklilik, fonksiyon ve analitik geometri gibi konular bulunmaktadır. 

 Kalkülüs Kullanım Alanları Nelerdir? 

 Kalkülüs matematiğin en önemli konularının arasında sayılmaktadır. Kalkülüs birçok alanda kullanılmaktadır. Doğada birçok olayla ilgili analizlerin yapılabilmesi için matematik modelleri kullanılmaktadır. Bu modellerin tam olması diğer alanlarda işlerin kolaylaşmasını sağlamaktadır. Fizik ve matematik birbirine en çok yardımcı olan bilim alanlarındadır. Kalkülüsün kullanıldığı alanlar cebirsel geometri, robot yapımı ve bilgisayar oyunu, uçak, motor ve uydu modellemeleri, anten ve rüzgar gülü yapımında, istasyon yapımlarında, çizge kuramında, elektrik devre analizleridir. Birçok alanda kullanılan kalkülüsün öğrenilmesi gündelik hayatta da insanların karşısına çıkmaktadır.