8. Sınıf Matematik Özdeşlikler konu anlatımı

Özdeşlik konusunun iyi bir şekilde öğrenilmesi denklem problemlerinin de kolay bir şekilde çözülmesine olanak sağlar. Konu ile alakalı sıkıntılarınız varsa içeriğimizi okumaya devam edin.

 Özdeşlikler

 Özdeşlik ve denklemler birbirine genelde karıştırılmaktadır. Öğrenciler bir bilinmeyenli bir ifade gördükleri zaman özdeşlik mi yoksa denklem mi demeleri gerektiğini karıştırmaktadırlar. Ancak özdeşlik de aslında bir denklemi ifade etmektedir.

 Aslında bir denkleme bakıldığı zaman denklemin özdeşlik olup olmadığının kontrol edilmesi çok daha iyi bir yöntem olacaktır. Özdeşlik ile denklem arasında bulunan fark ise şu şekildedir; özdeşliklerde bilinmeyen hangi sayı verilirse verilsin eşitliğin her iki tarafı da aynı olmaktadır. Denklemlerde ise durum farklıdır. Denklemlerde bazı gerçek sayılar ile eşitlik sağlanır. Burada bahsedilen denklem tabi ki özdeş olmayan denklemlerdir.

 Örnek: 3(x-2)=3x-6 ifadesi özdeş midir?

 İlk önce x yerine 1 yazalım

 3(1-2)=3.1-6

 3-6=3-6 Buradan da -3= -3 bulunur.

 x=2 yazalım

 3(2-2)=3.2-6 buradan 0=0 çıkar

 x=4 yazalım

 3(4-2)=3.4-6

 6=6 olur. Yani x yerine ne yazarsak yazalım denklemin iki tarafı da birbirine eşit olmaktadır. Bu sebeple bu denklemin özdeş olduğu söylenir.

 Örnek: 2x-4=10 denklemi özdeş midir?

 x=1 yazalım

 2.1-4=10 yazılır. Buradan -2≠10 olur

 x=2 yazalım

  2.2-4=10 yazılır. Buradan 0≠10 ifadesi bulunur.

 x=7 yazalım.

 2.7-4=10 yazılır. Buradan 10=10 ifadesi bulunur.

 Görüldüğü gibi x yerine farklı sayılar yazılmış ve yalnızca 7 sayısında eşitlik sağlanmıştır. Bu sebeple bu denklemin özdeş olduğu söylenemez.

 - Bir denklemin özdeş olup olmadığını anlamak için bilinmeyen yerine farklı değerler verilir ve çıkan sonuçlar karşılaştırılır. Eğer her değerde sonuç eşit çıkıyorsa denklemin özdeş olduğu söylenir.

 - Bir denklemde bilinmeyen yerine farklı sayılar yazıldığında her sayıda eşitlik elde edilmiyorsa o zaman denklemin özdeş olmadığı söylenir.

 - Başka bir yöntem ise şu şekildedir. Denklem sayı vermeden çözüldüğü zaman 0=0 ifadesi elde ediliyorsa o zaman denklemin özdeş olduğunu söylenir.

 Örnek: 3x+2=x+6 sayısı özdeş midir?

 Bu denklemi çözerek sonuca ulaşalım. Burada denklemi çözmek için bilinmeyenler bir yerde sayılar bir yerde toplanır.

 2x=4 x=2 bulunur. Yani x sayısı yerine sadece 2 yazıldığı zaman eşitlik elde edilmektedir. Bu da denklemin özdeş olmadığı anlamına gelir.

 Örnek: 3+3x=3x+3 denklemi özdeş midir?

 Denklemi çözerek sonuca ulaşalım. Bilinmeyenler bir tarafta sayılar bir tarafta toplandığı zaman şu şekilde bir denklem elde edilir.

 3-3=3x-3x buradan ise 0=0 sonucu çıkar. Yani bu denklemin özdeş olduğu söylenir.

 Önemli Özdeşlikler Nelerdir?

 Tam Kare Özdeşliği Nedir?

 Tam kare özdeşliği diğer bir ifade ile iki teriminin toplamının karesi demektir. İki terim toplanıp kareleri alınırsa bu sayı terimlerin ayrı ayrı karelerinin alınması ile bu iki teriminin çarpımının iki katının toplanmasına eşit olmaktadır.

 Örnek: (2+4)²=2²+2.2.4+4²

 6²=4+16+16

 36=36 elde edilir.

 Tam kare özdeşliği (x + y)²=x² +2xy +y² şeklinde formülize edilebilir.

 İki Terimin Farkının Karesi

 İki terim birbirinden çıkarıldıktan sonra karesi alınırsa elde edilen sayı bu sayıların ayrı ayrı karelerinin alınmasının çarpımlarının iki katından çıkarılmasına eşittir.

 Örnek: (6-3)²=6²-2.6.3+3²

 3²=36-36+9

 9=9 elde edilir.

 Bu ifadenin formül şeklinde yazılması ise şu şekilde yapılmaktadır.

 (x - y)²= x² -2xy +y²

 İki Kare Farkı

 İki teriminin karelerinin birbirinden çıkarılması bu sayıların farkları ile toplamlarının çarpımına eşittir.

 Örnek: 4²-2²= (4-2).(4+2)

 16-4=2.6

 12=12 bulunur.

 Bu ifadenin formül şeklinde yazılması ise şu şekildedir:

 x²-y²= (x - y) . (x + y)