Paralelin çizgileri kesişir mi uzaklaşır mı?

Öklid, İskenderiye’de yaşamış bir matematikçi. Milattan önce 300 yılında kurduğu aksiyomatik sistem sayesinde geometriyi mantıklı ve iç tutarlığa sahip bir dal olarak ortaya çıkartmış olan insan Öklid.
Öklid’in büyük başarısını anlamak için önce aksiyomatik sistemin ne olduğunu anlamak gerek.
Önce az sayıda doğruluğu kendinden menkul aksiyomlar belirlenir. Öklid’in meşhur kitabı sadece beş aksiyomla (veya postula) başlar. Bunları hepimiz ilkokul ve ortaokul matematik derslerinde öğrendik. Mesela birinci aksiyom, ‘İki noktadan bir ve yalnız bir doğru geçer’ diye tercüme edilmiştir bize. İkinci aksiyom, ‘Bir doğru parçası iki yöne de sınırsız uzatılabilir’ der. Üçüncü aksiyom veya postula, ‘Merkezi ve üzerinde bir noktası verilen çember çizilebilir’ derken dördüncü aksiyom ‘Bütün dik açılar birbirine eşittir’ diye koyar kuralı.
Bu postula veya aksiyomlardan en meşhuru ve en tartışmalısı beşincisidir. Orijinali şöyledir: ‘İki doğruyu diklemesine kesen doğru parçasının aynı tarafındaki iç açılarının toplamı iki dik açının toplamından azsa, bu iki doğru sonsuza kadar uzatıldıklarında bir noktada kesişirler.’
Bir aksiyomatik sistemin gerçek manada aksiyomatik sistem olabilmesi için, önce kendi aksiyomlarının (veya kurallarının) birbiriyle çelişmemesi gerekir.
Oysa bu beşinci aksiyom, diğer aksiyomlardan farklı olarak yüzyıllar boyunca tartışıldı. Bir çelişki vardı ama tam olarak neydi?
Çünkü bu aksiyomun tersi, yani iki doğruyu yukarıdan aşağı kesen bir başka doğrunun aynı taraftaki iç açılarının toplamının 180 olması durumunda, doğruların hiçbir zaman birbiriyle kesişmeyeceği söylenmiş oluyordu. O yüzden bu aksiyomun adı ‘paralel aksiyomu’dur aynı zamanda.
Bu aksiyomu İskoçyalı matematikçi John Playfair daha kolay biçimde ifade etti, bizim ders kitaplarımızda yer alan beşinci aksiyom aslında Öklid’in değil Öklid’den hareketle Playfair’in yazdığı aksiyomdur: ‘Bir doğruya dışında alınan bir noktadan bir ve yalnız bir paralel çizilebilir.’
Playfair böyle bir şey yaptı ve kabul gördü; çünkü beşinci aksiyomla ilgili önemli itirazlardan biri, bu aksiyomun diğer aksiyomlara göre daha karmaşık olmasıydı.
Peki paraleller sonsuza kadar paralel kalır mı? İki boyutlu bir evrende evet, kalabilir belki ama bunu kanıtlamak, hem de Öklid’in sistemi içinde kanıtlamak mümkün mü?
Matematikçiler milattan önce 300 yılı civarında yazıldığı kabul edilen bu sistemi 2100 yıl boyunca tartıştılar. Tartışan ve alternatif aksiyomlar arayanlar arasında meşhur Ömer Hayyam da vardır. Ama nihayet 19. yüzyılın başında büyük Alman matematikçi Gauss, Öklidci olmayan bir geometri olup olmayacağını araştırmaya başladı, hatta Öklid-dışı bir geometri de yarattı ama sonuçlarını yayınlamadı. Derken 1830 yılında Macar matematikçi Bolai ve Rus meslektaşı Lobaçevski birbirlerinden habersiz hiperbolik geometri veya Öklid-dışı geometrilerini yayınladılar.
Onların geometrik evreninde paraleller sonsuza kadar paralel kalmıyordu, çizgiler uzadıkça kesişebiliyor veya tam tersine birbirinden uzaklaşabiliyordu.
Bunun insanlık için nasıl büyük bir fikri sıçrama olduğunu, Öklid’in iki boyutlu evreninden üç ve hatta daha fazla boyutlu evrenlere geçmenin hepimizin hayatına ne kadar çok şey kattığını anlatmaya bu köşeye ayrılan yer yetmez.
Ama şunu söyleyeyim izninizle: Paraleli oluşturan doğruların gelecekte birbiriyle kesişme veya tam tersine birbirinden uzaklaşma ihtimali bize en basitinden modern fiziği, modern astronomiyi verdi.
Paralelin hep paralel kalması iyi bir şey değil anlayacağınız.